** Inégalité de Bernoulli - Le retour

Pour tout entier naturel \(n\geqslant 2\) , on considère la fonction `f_n`   définie sur  `[-1\ ;+\infty[`  par `f_n(x)=(1+x)^n` .

1. a. Pour tout réel \(x \geqslant -1\) , calculer \(f_n'(x)\)  puis \(f_n''(x)\) .
    b. Étudier la convexité de \(f_n\)   sur  `[-1\ ;\+\infty[`  .

2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(f_n\)  au point d'abscisse \(0\) .

3. En déduire que, pour tout entier naturel  \(n\) supérieur ou égal à  \(2\)   et pour tout réel  \(x\) \(\) supérieur ou égal à \(-1\) , on a \(\ (1+x)^n \geqslant 1+nx\) .